Все три версии правильные, они не противоречат друг другу.

Проверка герметичности - да, если крышка плохо закатана, рассол или сироп потечет и это сразу видно.

Дополнительная стерилизация крышки - тоже верно. Горячая жидкость касается внутренней поверхности крышки (которую перед этим кипятили, но не так долго), и это дополнительный прогрев. Особенно важно для резинового уплотнителя.

Про укутывание одеялом - это пастеризация за счет медленного остывания. Чем медленнее остывает банка, тем дольше содержимое находится при высокой температуре. Это убивает часть оставшихся микроорганизмов.

Переворачивай. Укутывай. Потом ставь нормально. Без этого тоже стоит, но с этим спокойнее.

Сорок лет закрываю компоты и никогда ничего не переворачивала. Стоят прекрасно. Главное - хорошо простерилизовать банки и крышки, и всё. Переворачивание это советская традиция, когда крышки были плохого качества и проверить плотность прилегания иначе было нельзя. Сейчас нормальные крышки - и смысла в этом меньше.

Мама делала точно так же, бабушка тоже. Однажды попробовал не переворачивать - три банки из десяти вздулись к весне. Совпадение? Может быть. Но с тех пор переворачиваю всегда.