Суть в том, что на открытом промежутке функция может быть непрерывной, но не иметь определенных значений на концах. Тебе нужно зафиксировать f(a) и f(b), чтобы вообще иметь право говорить про "разные знаки на концах".
Вот конкретный пример. Возьми f(x) = 1/x на интервале (0, 1). Функция непрерывна на всем (0, 1). Но в точке 0 она не определена, значения стремятся к +бесконечности. Ты не можешь сказать "f(0) отрицательно" или "f(0) положительно", потому что f(0) не существует.
Замкнутость гарантирует две вещи:
- Функция определена и непрерывна в точках a и b (не убегает в бесконечность, не имеет разрыва).
- По теореме Вейерштрасса, непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает своих граничных значений. Это свойство компактности отрезка [a, b]. Открытый интервал не компактен, и многие ключевые теоремы анализа на нем разваливаются.
Формально теорема Больцано-Коши является следствием свойства связности отрезка и полноты вещественных чисел. Доказательство через вложенные отрезки (метод деления пополам) опирается на принцип полноты: последовательность вложенных замкнутых отрезков имеет непустое пересечение. Для открытых интервалов аналогичное утверждение неверно.
Так что замкнутость не просто формальность. Без нее у тебя нет ни значений на концах, ни гарантии компактности, ни работающего принципа вложенных отрезков.
Про вложенные отрезки прям щелкнуло, спасибо! Теперь понятно зачем замкнутость в доказательстве