Решён
Найти пределы, минуя правило Лопиталя

Дмитрий Волков • Математика •
2.9k
4

Задачи из задачника по матану, преподаватель требует считать пределы БЕЗ правила Лопиталя. Нужно через эквивалентные бесконечно малые, разложение по Тейлору, алгебраические преобразования и т.д.

Вот пределы:

  1. lim(x->0) (sin(3x) - 3sin(x)) / x^3

  2. lim(x->0) (e^x - 1 - x) / x^2

  3. lim(x->inf) (x^2 + 3x + 1)^(1/2) - x

По второму вроде через Тейлор можно, но с первым и третьим вообще не понимаю как подступиться. Если кто может расписать ход решения, буду очень благодарен. Зачет через 3 дня.

UPDATE: Зачет сдал! Спасибо всем, особенно за разбор третьего предела через сопряженное, препод именно это и хотел видеть.
МатанМатематический анализПределыТейлорЭквивалентные бесконечно малые

4 ответа

Лучшие Новые Старые
Решение
23
Участник • 1 ответ

Разберем все три.

Предел 1: lim(x->0) (sin(3x) - 3sin(x)) / x^3

Раскладываем sin по Тейлору до третьего порядка:

sin(u) = u - u^3/6 + O(u^5)

sin(3x) = 3x - (3x)^3/6 + O(x^5) = 3x - 27x^3/6 + O(x^5) = 3x - 9x^3/2 + O(x^5)

3sin(x) = 3(x - x^3/6 + O(x^5)) = 3x - x^3/2 + O(x^5)

Вычитаем:

sin(3x) - 3sin(x) = (3x - 9x^3/2) - (3x - x^3/2) + O(x^5) = -9x^3/2 + x^3/2 + O(x^5) = -8x^3/2 + O(x^5) = -4x^3 + O(x^5)

Делим на x^3:

(-4x^3 + O(x^5)) / x^3 = -4 + O(x^2)

При x->0 получаем -4.

Предел 2: lim(x->0) (e^x - 1 - x) / x^2

Ты правильно угадал, Тейлор:

e^x = 1 + x + x^2/2 + O(x^3)

e^x - 1 - x = x^2/2 + O(x^3)

Делим на x^2:

(x^2/2 + O(x^3)) / x^2 = 1/2 + O(x)

Предел = 1/2.

Предел 3: lim(x->inf) (sqrt(x^2 + 3x + 1) - x)

Умножаем и делим на сопряженное:

(sqrt(x^2 + 3x + 1) - x) * (sqrt(x^2 + 3x + 1) + x) / (sqrt(x^2 + 3x + 1) + x)

Числитель: (x^2 + 3x + 1) - x^2 = 3x + 1

Знаменатель: sqrt(x^2 + 3x + 1) + x

Получаем: (3x + 1) / (sqrt(x^2 + 3x + 1) + x)

Делим числитель и знаменатель на x (x > 0):

(3 + 1/x) / (sqrt(1 + 3/x + 1/x^2) + 1)

При x->inf: 1/x -> 0, 3/x -> 0, 1/x^2 -> 0

Получаем: 3 / (sqrt(1) + 1) = 3/2

Предел = 3/2.

10
Участник • 1 ответ

По третьему пределу есть еще один способ, если не нравится сопряженное.

Выносим x из под корня:

sqrt(x^2 + 3x + 1) = x * sqrt(1 + 3/x + 1/x^2)

При x->inf обозначим t = 1/x, t->0+:

sqrt(1 + 3t + t^2) - 1

По Тейлору: sqrt(1 + u) = 1 + u/2 + O(u^2) при u->0

u = 3t + t^2

sqrt(1 + 3t + t^2) = 1 + (3t + t^2)/2 + O(t^2) = 1 + 3t/2 + O(t^2)

Вычитаем 1: 3t/2 + O(t^2)

Умножаем на x = 1/t: (3t/2) * (1/t) = 3/2

Тот же ответ, но через замену переменной. Преподу понравится разнообразие подходов.

9
Участник • 8 ответов

Слушай, если зачет через 3 дня и ты не понимаешь как подступиться к разложению Тейлора, проблема глубже чем эти три примера. Тебе надо сесть и прорешать хотя бы 20-30 пределов разных типов.

Берешь Демидовича, раздел 2.2, там задачи на пределы через эквивалентные. Первые 10 решаешь подглядывая в ответы, следующие 10 сам. К зачету будешь щелкать как орешки.

Тейлор - это не магия, это инструмент. sin, cos, e^x, ln(1+x), (1+x)^a - выучи разложения этих пяти функций наизусть и 90% задач на пределы решаются подстановкой.

2
Участник • 13 ответов

а почему препод запрещает лопиталя? у нас разрешали любым способом решать, главное правильный ответ

Написать ответ

Визуальный редактор (WYSIWYG)
Премодерация гостей

Вы отвечаете как гость. Ваш ответ будет скрыт до проверки модератором. Чтобы ответ появился сразу и вы получали репутацию — войдите в аккаунт.

Или войдите в систему
Будьте вежливы и соблюдайте правила платформы.