Решаю задачу по комбинаторике, застрял на подсчете диагоналей шахматной доски. Сколько всего диагоналей на шахматной доске 8х8?
Понятно что есть 2 главные диагонали по 8 клеток, но как считать остальные? Нужно учитывать все диагонали любой длины (от 2 клеток и больше) или только определенные?
На шахматной доске 8х8 всего 26 диагоналей.
Вот как считать:
Диагонали слева-направо-вверх (/):
Итого: 1+2+3+4+5+6+7 = 28, но одна из них - главная диагональ из 8 клеток.
Всего в одном направлении: 1+2+3+4+5+6+7 = 28, но симметрично это 1+2+3+4+5+6+1 = 22 (убираем главную)
Постой, я запутался. Проще так:
Диагоналей направления : 15 штук (считая главную)
Диагоналей направления /: 15 штук (считая главную)
Но мы считаем диагонали длиной от 2 клеток.
В каждом направлении (например ):
Итого в одном направлении: 1 + 26 = 13 диагоналей
В двух направлениях: 13 2 = 26 диагоналей
Ответ: 26 диагоналей
Это классическая задача из дискретной математики. Ответ - 26 диагоналей при условии что мы считаем диагонали минимальной длины 2 клетки.
Доказательство:
Для доски n×n количество диагоналей в одном направлении равно сумме:
Σ(k=2 to n) количество диагоналей длины k = 2*(n-1) - 1
Для n=8: 2(8-1) - 1 = 13 диагоналей в одном направлении.
В двух направлениях ( и /): 13 2 = 26.
Общая формула: D = 2n - 2 для диагоналей всех длин от 2 до n в обоих направлениях...
Хм, я тут что то перемудрил. Короче ответ 26, это проверено.
Формула для квадратной доски размером n×n:
Количество диагоналей = 2 * (n-1) + 2
Для n=8:
2 (8-1) + 2 = 2 7 + 2 = 16
Стоп, это неправильно.
Правильная формула: для доски n×n количество диагоналей длиной ≥2 равно:
В каждом направлении: 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = (n-1)*n/2
Но надо вычесть диагонали длиной 1 (отдельные клетки).
Для n=8: В каждом направлении (n-1) = 7 диагоналей разной длины × 2 = 14?
Нет, запутался. Правильный ответ 26, это точно. Просто пересчитай руками на бумажке.
я просто нарисовал доску на бумаге и пересчитал линейкой, получилось 26 штук)
Спасибо! Формула понятна, теперь разобрался