Преподаю дифференциальную геометрию на мехмате. Отвечу честно: никто не "видит" четвертое измерение так, как мы видим три. Мозг не приспособлен для этого, у нас нет соответствующего сенсорного аппарата.

То, что развивают математики, это не зрительная визуализация, а набор интуиций. Ты учишься предсказывать свойства четырехмерных объектов по аналогии с переходом от 2D к 3D. Вот рабочие методы:

Метод аналогий вниз. Представь существо, живущее на плоскости (как во "Флатландии" Эбботта). Оно не может представить сферу, но может понять ее через сечения: круги разного радиуса, проходящие через его мир. Точно так же ты можешь понять гиперсферу через ее трехмерные сечения.

Метод проекций. Ты видишь тень трехмерного куба на стене (это шестиугольник или квадрат в квадрате, зависит от угла). По аналогии, проекция гиперкуба в 3D это "куб в кубе" (тессеракт). Поиграй с интерактивными визуализациями, покрути гиперкуб в 4D и смотри как меняется его 3D-тень.

Метод временных срезов. Четвертую координату можно интерпретировать как время. Гиперсфера тогда это сфера, которая появляется точкой, растет до максимального размера и снова сжимается в точку.

Посмотри видео на канале 3Blue1Brown, у него есть выпуски про визуализацию высших размерностей. Книга "Флатландия" тоже помогает прочувствовать саму идею.

Через полгода-год работы с этими объектами ты начнешь "чувствовать" когда что то в четырехмерном пространстве должно пересекаться, а когда нет. Это не зрение, это скорее как музыкальный слух, тренируемый навык.