Удивлен что выше не упомянута теорема Наполеона. На сторонах произвольного треугольника строим равносторонние треугольники (наружу). Соединяем их центры. Получается равносторонний треугольник.

По духу похоже на Морли, но мне лично кажется еще нагляднее. Плюс сама история теоремы спорная, действительно ли Наполеон ее сформулировал или нет, но красиво что полководец мог заниматься геометрией.

Понятие "красоты" в математике субъективно, но есть критерии которые большинство математиков разделяют: неожиданность результата, краткость формулировки при глубине содержания и связь между далекими областями.

По этим критериям я бы добавил теорему о бабочке (Butterfly theorem). Через середину хорды окружности проводятся две другие хорды. Соединяем их концы определенным образом, и точки пересечения этих соединений с исходной хордой оказываются симметричны относительно ее середины.

Формулировка звучит запутанно, но чертеж занимает 30 секунд, а результат вызывает реакцию "не может быть". Элементарное доказательство при этом нетривиально, что добавляет шарма.

Теорема Пифагора. Серьезно.

Знаю что банально звучит, но подумайте. Ей 2500 лет, у нее больше 400 различных доказательств (включая одно от президента США Гарфилда), она связывает геометрию с алгеброй, из нее растет вся тригонометрия, и при этом ее может понять восьмилетний ребенок.

Красота не обязательно в сложности. Иногда красота в том что простое утверждение оказывается фундаментом для всей математики.

для олимпиады советую не красивые а полезные)) теорема менелая, теорема чевы, степень точки относительно окружности. красота красотой а баллы надо набирать