Выражение восходит к старому анекдоту, который ходил в народе еще с конца XIX века, хотя точную дату назвать невозможно. Суть анекдота такая: мужик на ярмарке продает баян (в некоторых вариантах гармонь), к нему подходит другой и спрашивает цену. Цена кажется высокой, и покупатель говорит "да зачем он мне, я ж играть не умею". А продавец отвечает "ну тогда ты как коза с баяном".
Со временем формулировка сжалась до "зачем козе баян" и стала обозначать бессмысленное приобретение, вещь не по назначению. Коза тут выступает как существо, максимально далекое от музыки. Баян, соответственно, предмет, требующий специфических навыков.
Есть параллельная версия, что фраза пришла из лубочных картинок XVIII-XIX века, где часто рисовали животных с человеческими предметами (коза с баяном, свинья с книгой). Но лингвисты (в частности, В.М. Мокиенко в "Большом словаре русских поговорок") склоняются к анекдотическому происхождению.
Кстати, в украинском языке есть похожая поговорка "як свинi рог" (как свинье рог), принцип тот же: животное + абсолютно ненужный ему предмет.
Про лубочные картинки не знал, интересно. Спасибо за развернутый ответ!