Добавлю важный нюанс: система именования менялась в зависимости от полиса и эпохи.

В классических Афинах (V-IV века до н.э.) полная формула включала три элемента:

1. Личное имя (например, Демосфен)
2. Патроним в родительном падеже (Демосфенов - то есть "принадлежащий Демосфену-отцу")
3. Демотикон - указание на дем, территориальную единицу Аттики (Пеанийский)

Таким образом: Демосфен Демосфенов Пеанийский.

В Спарте была другая система - там к имени добавляли имя отца через частицу (Леонид, сын Анаксандрида). В эллинистический период в некоторых регионах появились прозвища, которые становились наследственными и фактически превращались в подобие фамилий.

Женщин называли еще проще: имя + "дочь [имя отца]" или "жена [имя мужа]". Собственное женское имя в официальных документах часто вообще опускалось.

Интересный факт: прозвища (эпитеты) тоже активно юзались, особенно для известных личностей.

Платон - вообще не настоящее имя, а кличка (от "платюс" - широкий, то ли из за широких плеч, то ли из за лба). Настоящее имя - Аристокл.

Фемистокл Неоклов получил прозвище "Хитроумный".
Алкивиад был "Красивым".

Такие прозвища помогали различать тезок и часто вытесняли официальное имя в обиходе.

А вот римляне в этом плане были куда более организованными. У них была трехчленная система: преномен (личное имя), номен (родовое имя) и когномен (семейное прозвище). Гай Юлий Цезарь - классический пример. Плюс могли добавить агномен за заслуги.

Греки на их фоне выглядят как импровизаторы. Хотя для полисной системы, где все друг друга знали, их метод работал нормально.