Тут несколько функций накладывались друг на друга, и разные источники расставляют акценты по-разному.
Первое и главное - это именно то, что написал пользователь выше: полотенце входило в ритуал снятия защитного облачения. Средневековые врачи, как ни странно, понимали заразность чумы на практическом уровне, пусть и объясняли её через "миазмы". Процедура снятия костюма всегда начиналась с рук - их промывали кислым раствором и вытирали насухо, прежде чем касаться шнуровки или застежек.
Второе - для протирания клюва и стеклянных окуляров прямо во время осмотра. Внутри клюва горели ароматические травы, и конденсат на стекле был реальной проблемой видимости.
Третье, самое неочевидное - психологический и социальный ритуал. Доктор, приходя к постели больного, демонстративно раскладывал свои инструменты. Полотенце создавало видимость чистоты и медицинской процедурности. Для умирающего человека это было важно.
Конкретные первоисточники, где упоминается полотенце в контексте снаряжения: трактат Шарля де Лорма 1619 года, он как раз и разработал классический костюм с клювом.
Про де Лорма - спасибо, буду копать в эту сторону. Про конденсат на стекле вообще не подумал, но логично.