Короткий ответ: единого момента не было. Фамилии появлялись в разных цивилизациях в разное время, от античности до XX века.
Теперь длинный.
Китай был первым. Фамилии ("син") существовали уже в эпоху Шан (XVI-XI века до н.э.), то есть более 3000 лет назад. Изначально фамилия передавалась по материнской линии, и их было всего около 20. Потом система усложнилась, появились клановые имена ("ши"). К эпохе Хань (III в. до н.э.) фамилии стали передаваться по отцу.
Древний Рим: трехкомпонентная система имен (tria nomina). Praenomen (личное имя) + Nomen (родовое имя, по сути фамилия) + Cognomen (прозвище ветви рода). Гай Юлий Цезарь: Гай - имя, Юлий - род, Цезарь - прозвище. Работало с VI-V века до н.э. После падения Рима система развалилась, и Европа вернулась к одному имени на несколько столетий.
Западная Европа: фамилии начали возвращаться в X-XII веках, сначала среди знати (привязка к владениям: де Монфор, фон Габсбург). Простолюдье получило фамилии позже, в XIII-XV веках, когда росли города и одних имен перестало хватать. Механизм образования:
- По профессии: Кузнец (Smith, Шмидт, Ковалев)
- По отцу: Иванов, Петров, Johnson, MacDonald
- По месту: Горский, Польский, Hill
- По внешности: Белов, Кудрявцев, Schwarz
Россия: бояре имели фамилии с XIV-XV веков. Дворянство - с XVI-XVII. Крестьяне массово получили фамилии только после отмены крепостного права в 1861 году, а окончательно процесс завершился при переписи 1897 года. То есть прадеду вашего прадеда фамилию могли буквально "назначить" чиновник или помещик.
Турция: фамилии ввели законодательно в 1934 году по реформе Ататюрка. До этого обходились системой "имя + имя отца".
Исландия: фамилий в привычном понимании нет ДО СИХ ПОР. Используется патронимическая система: Бьорк Гудмундсдоттир = Бьорк, дочь Гудмунда. Телефонный справочник отсортирован по именам.
Про Исландию и телефонный справочник по именам - это прям бомба, не знал. Спасибо за такой развернутый ответ!