Да, млекопитающим и птицам точно снятся сны. Это доказано экспериментально.
У всех теплокровных животных есть фаза быстрого сна (REM-фаза), во время которой мозг активен почти как при бодрствовании. Именно в этой фазе возникают сновидения у людей, и есть все основания полагать что у животных тоже.
Самый известный эксперимент - работы Мишеля Жуве в 1960-х. Он повредил кошкам участок мозга, который отвечает за паралич мышц во время REM-сна. В результате спящие кошки вставали и начинали охотиться на воображаемую добычу, шипеть, прыгать. То есть проигрывали свои сны физически.
Что касается содержания снов - прямых данных нет (кошка не расскажет). Но по косвенным признакам им снится то же что они делают днем: охота, игры, исследование территории. Крысам в экспериментах снились лабиринты которые они проходили накануне (это определили по активности нейронов гиппокампа).
Вау, не знала про эксперимент с кошками! Теперь буду смотреть на спящего кота и думать что ему снится охота на мышей :3