Если совсем кратко: их "видят" по тому, как ведут себя другие частицы при столкновениях. Как детектив, который восстанавливает картину преступления по следам - самого момента никто не видел, но следы однозначны.

Добавлю к ответу выше про косвенные свидетельства.

Считай кварки как бухгалтерию. У протона заряд +1. Он состоит из двух u-кварков (заряд +2/3 каждый) и одного d-кварка (заряд -1/3). Складываем: 2/3 + 2/3 - 1/3 = 3/3 = 1. Сходится.

Каждая частица в таблице адронов складывается из кварков так что ее свойства (заряд, спин, четность, изоспин) получаются сложением свойств составляющих кварков. И это работает для нескольких сотен частиц без единого исключения. Вероятность что это совпадение - нулевая.

Потом измерение R-отношения на e+e- коллайдерах дало число 3 в числителе, что соответствует трем цветовым зарядам каждого кварка. Это прямая экспериментальная проверка цветовой гипотезы.

Главный эксперимент - глубоконеупругое рассеяние, SLAC, конец 1960-х. Протон бомбардировали электронами с очень высокой энергией и смотрели под какими углами они отлетают.

Если бы протон был однородным шариком - рассеяние было бы гладким, предсказуемым. Но электроны отлетали слишком резко и под слишком большими углами. Это значит, что внутри протона есть твердые точечные объекты, от которых электроны буквально отскакивают. Физики назвали их паркОнами (позже оказалось - это и есть кварки плюс глюоны).

Аналогия: если ты стреляешь дробью по мешку с ватой - дробь почти не отклоняется. Если в вате спрятаны шарики от подшипников - некоторые дробинки отскочат под большим углом. Вот так и поняли что внутри есть структура.

Дальше - изучение джетов на коллайдерах. Когда кварк вырывается из столкновения с очень большой энергией, конфайнмент немедленно его "одевает" в новые частицы (адронизация). Это выглядит как узкий конус из нескольких адронов, летящих в одном направлении - джет. Геометрия этих джетов, их количество, угловое распределение - всё это проверяется с теорией и сходится с точностью до долей процента.