Выражение пришло из басни Ивана Андреевича Крылова "Тришкин кафтан", написанной в 1815 году.
Сюжет басни такой: у мужика по имени Тришка протерлись локти на кафтане. Чтобы залатать дыры, он отрезал куски ткани от пол кафтана. Локти стали в порядке, но кафтан стал коротким. Тогда Тришка решил удлинить его за счет рукавов. В итоге кафтан стал и коротким, и с куцыми рукавами.
Крылов заканчивал басню иронической отсылкой к реальным управленческим решениям своего времени - конкретно к реформам, когда залатывание одной бюджетной дыры создавало другую.
Фраза прижилась именно потому, что образ абсолютно универсальный. Сама метафора намного старше Крылова - перешивать одежду за счет других ее частей было бытовой практикой у небогатых людей, и все эту ситуацию понимали без объяснений.
Большое спасибо за такой полный ответ! Никогда не знала что это именно Крылов. Всегда думала что выражение народное.