Версия существует в академической лингвистике, но она не мейнстримная, а дискуссионная.

Кольцо восходит к праславянскому *kolo - "круг", "колесо". Отсюда же колесо, около (буквально "вокруг"), колея.

Околеть - глагол с приставкой о- и корнем, который этимологи возводят к разным источникам. Одна версия - от того же *kolo через значение "окоченеть", "стать твердым как кол", "застыть в кольце". Логика: умерший зверь коченеет, буквально "округляется" в трупном окоченении.

Другая версия - от *koleti, родственного "колоть", то есть первоначальный смысл "быть пронзенным", "получить удар". Тогда связи с кольцом нет вообще.

Фасмер в своем этимологическом словаре русского языка для "околеть" дает корень *kol- с неопределенным значением, связывает с литовским kalti (ковать, бить) - скорее второй вариант.

Так что: связь "кольцо" и "околеть" через *kolo - это реальная академическая гипотеза, но не консенсус. Народной этимологией ее не назовешь, но и строгим фактом тоже.

Корень *kol- в праславянском был очень продуктивным и охватывал несколько разных семантических кустов одновременно: круглое (кольцо, колесо), острое (кол, колоть), движение по кругу (около, коло). Это нормальная картина для древних корней - они многозначны, и со временем разошлись в разные слова.

Поэтому вопрос "родственны ли кольцо и околеть" звучит немного иначе: они могут иметь общего прапрапрадедушку в виде этого самого *kol-, но разошлись очень рано и по разным смысловым ветвям.

Честно говоря, когда начинаешь копать праславянские реконструкции, там почти все со всем оказывается в каком то родстве на достаточно глубоком уровне. Вопрос в том, насколько эта родня близкая и значимая. Для кольца и околеть - дальнее родство через общий корень вполне реально, но прямой смысловой нити между ними нет.

Звучит как народная этимология уровня "слово "страна" от "странный"". Мало ли что на что похоже звучит. Доказательная база нужна.