Причин несколько, и они переплетаются.
Политика и легитимность. Клавдий пришел к власти в 41 году при очень сомнительных обстоятельствах - его буквально нашли за занавеской преторианцы после убийства Калигулы. Сенат его не воспринимал всерьез, считали заикающимся дурачком. Ему отчаянно нужна была военная победа для укрепления авторитета. Британия подходила идеально: Цезарь туда дважды высаживался но не завоевал, значит можно превзойти самого Цезаря.
Экономика. Британия была богаче чем кажется. Олово (необходимо для бронзы), свинец с высоким содержанием серебра, железо, шерсть, зерно из южных областей, охотничьи собаки (ценились в Риме), рабы. Торговля с Британией шла и до завоевания, но римские купцы платили пошлины местным королькам. Проще один раз завоевать.
Стратегия. Британские племена поддерживали антиримские восстания в Галлии. Бритты укрывали беглых галльских вождей, друиды координировали сопротивление через Ла-Манш. Пока Британия независима - Галлия нестабильна.
Идеология. Римляне искренне верили в свою цивилизаторскую миссию. Нести свет закона и порядка варварам на краю мира - это очень по-римски.
Про олово и свинец не знал, спасибо! Получается экономический смысл все таки был