С точки зрения международного права разницы нет. Устав ООН не использует термин "война", там говорится о "применении силы" и "вооруженном конфликте".
Официально войны как юридический институт не существует с 1945 года, после принятия Устава ООН. Все современные конфликты формально либо "операции по поддержанию мира", либо "самооборона", либо вот такие "специальные операции".
Терминология нужна для внутриполитических целей:
- Избежать формального объявления войны (что влечет дополнительные международные обязательства)
- Снизить градус восприятия у населения
- Обойти конституционные ограничения на военные действия
- Не вводить военное положение внутри страны
США называли Ирак и Афганистан "операциями", Россия Чечню называла "контртеррористической операцией", Израиль свои действия в Газе называет "операциями".
По факту если есть регулярные войска, боевые действия, жертвы среди военных и гражданских - это война, как ее ни назови.