Готовлюсь к экзамену по численным методам, нужна точная формулировка теоремы Самарского (про устойчивость разностных схем). В лекциях у нас написано коротко и без строгих условий, в учебнике тоже как то размыто.
Если кто знает точную формулировку - буду очень благодарен. Интересует именно та, что про равносильность аппроксимации и устойчивости к сходимости.
Теорема Самарского (о сходимости разностных схем):
Пусть дана корректно поставленная задача и её разностная схема. Если разностная схема аппроксимирует исходную задачу с порядком p по шагу h и является устойчивой, то она сходится к точному решению, причём погрешность сходимости имеет тот же порядок p.
Формально: схема сходится тогда и только тогда, когда она аппроксимирует задачу И устойчива. Это принцип "аппроксимация + устойчивость = сходимость".
Ключевые условия:
Именно это и есть центральный результат, который Самарский называл "теоремой о необходимом и достаточном условии сходимости". В разных учебниках формулировка немного отличается по строгости, но суть одна.
Коротко: аппроксимация + устойчивость = сходимость. Это вся суть теоремы. Для экзамена обычно достаточно.
Дополню: в оригинальной монографии Самарского и Гулина "Численные методы" (1989) эта теорема идет в главе про общую теорию разностных схем. Там формулировка чуть строже - через операторные уравнения Au = f в банаховых пространствах. Если нужна именно она для экзамена, стоит посмотреть первоисточник, некоторые преподаватели требуют именно операторную запись.
Кажется там еще что то про норму пространства... но точно не помню, у нас это в третьем семестре было и я честно говоря подзабыл детали. Может первый ответ и правильный, просто перепроверь по учебнику на всякий случай
Спасибо огромное! Именно это и нужно было, особенно про условие Адамара - у нас преподаватель об этом вскользь говорил, а тут все по полочкам.