Нужно найти все натуральные n, при которых выражение 4n+1 дает полный квадрат.
Понимаю что можно подставлять значения и проверять (n=0 дает 1, n=2 дает 9, n=6 дает 25), но есть ли общая формула или закономерность? Как найти все такие n?
Задача из олимпиады, застрял на этом моменте.
4n+1 = k² для некоторого натурального k.
Раскладываем: 4n = k² - 1 = (k-1)(k+1)
Значит n = (k-1)(k+1) / 4
Чтобы n было натуральным числом, произведение (k-1)(k+1) должно делиться на 4. Это происходит когда k нечетное (тогда оба множителя четные).
Подставляем k = 2m+1:
n = (2m)(2m+2) / 4 = m(m+1)
Ответ: n = m(m+1) для любого неотрицательного целого m.
Примеры:
Можно еще заметить что все такие квадраты нечетные (4n+1 всегда дает остаток 1 при делении на 4). Квадраты нечетных чисел как раз имеют вид 4m+1, а квадраты четных - вид 4m. Поэтому k обязательно нечетное.
последовательность n это 0,2,6,12,20,30... разность между соседними членами растет на 2 каждый раз (2,4,6,8,10). если интересно можно в OEIS посмотреть такие последовательности там куча инфы
Спасибо огромное! Теперь понятно, ключ в разложении на множители.