Да, строго говоря это правда, и это не упрощение для красоты. Любые два тела вращаются вокруг общего центра масс (барицентра). Третий закон Ньютона: Солнце притягивает Юпитер, Юпитер притягивает Солнце с такой же силой. Оба движутся.
Теперь про конкретику.
Солнце содержит 99.86% массы всей Солнечной системы. Барицентр системы Солнце-Земля находится внутри Солнца, всего в нескольких сотнях километров от его центра. Земля слишком легкая чтобы заметно сдвинуть эту точку.
Совсем другая картина с Юпитером. Его масса составляет примерно 1/1000 массы Солнца, но он далеко. Барицентр системы Солнце-Юпитер лежит примерно в 742 000 км от центра Солнца. Радиус самого Солнца около 696 000 км. Барицентр чуть за пределами солнечной поверхности.
Когда к Юпитеру добавляется Сатурн (а они иногда оказываются по одну сторону от Солнца), барицентр системы может сместиться на 1-2 солнечных радиуса от центра Солнца.
Влияет ли это на орбиты? Для школьной и даже университетской задачи разницы ноль. Земля вращается "вокруг Солнца" с точностью, достаточной для любых практических целей. Но для точных расчетов в астрометрии и при поиске экзопланет (метод радиальных скоростей) это критически важно. Собственно именно "покачивание" звезд вокруг барицентра позволяет обнаруживать планеты у далеких звезд.
Вот это ответ! Особенно про поиск экзопланет зацепило, не думал что это связано. Спасибо огромное