Решён
Найди все натуральные числа y, при которых дробь делится нацело

Евгений Рябов • Математика •
1.6k
3

Задача из домашки по матеше, не могу разобраться.

Найти все натуральные числа y, при которых дробь (y + 5) / (y - 3) является целым числом.

Понимаю что надо как то разделить числитель на знаменатель, но дальше ступор. Пробовал подставлять числа, нашел y=4 (дробь равна 9) и y=11 (дробь равна 2), но не уверен что нашел все.

Можно с объяснением пожалуйста, а не просто ответ.

ДелимостьДомашнее заданиеДробиМатематикаНатуральные числа

3 ответа

Лучшие Новые Старые
Решение
26
Участник • 2 ответа

Смотри, фишка в том чтобы выделить целую часть при делении.

Преобразуем числитель:

(y + 5) / (y - 3) = (y - 3 + 8) / (y - 3) = 1 + 8 / (y - 3)

Теперь все просто. Чтобы вся дробь была целым числом, нужно чтобы 8 / (y - 3) было целым. Значит (y - 3) должно быть делителем числа 8.

Делители 8: 1, 2, 4, 8 (берем только положительные, потому что y натуральное и y > 3, иначе знаменатель отрицательный или ноль).

y - 3 = 1 => y = 4
y - 3 = 2 => y = 5
y - 3 = 4 => y = 7
y - 3 = 8 => y = 11

Проверка:

  • y=4: (4+5)/(4-3) = 9/1 = 9 ✓
  • y=5: (5+5)/(5-3) = 10/2 = 5 ✓
  • y=7: (7+5)/(7-3) = 12/4 = 3 ✓
  • y=11: (11+5)/(11-3) = 16/8 = 2 ✓

Ответ: y ∈ {4, 5, 7, 11}

Ты нашел 4 и 11, пропустил 5 и 7. Метод подбора тут плохо работает, а вот выделение целой части решает задачу полностью.

13
Эксперт • 4 ответа

Дополню к ответу выше. Вопрос, а почему мы не рассматриваем y = 1, 2, 3?

При y = 3 знаменатель равен нулю, деление на ноль невозможно.

При y = 1: (1+5)/(1-3) = 6/(-2) = -3. Формально это целое число, но дробь отрицательная. Если в условии требуется чтобы ДРОБЬ была натуральным числом, то y=1 и y=2 отпадают. Если требуется только целое, то:

y - 3 = -1 => y = 2, дробь = (7)/(-1) = -7
y - 3 = -2 => y = 1, дробь = (6)/(-2) = -3
y - 3 = -4 => y = -1, не натуральное
y - 3 = -8 => y = -5, не натуральное

Так что если задача требует чтобы результат был просто целым числом (а y натуральное), то ответ: y ∈ {1, 2, 4, 5, 7, 11}. Перечитай условие внимательно.

Написать ответ

Визуальный редактор (WYSIWYG)
Премодерация гостей

Вы отвечаете как гость. Ваш ответ будет скрыт до проверки модератором. Чтобы ответ появился сразу и вы получали репутацию — войдите в аккаунт.

Или войдите в систему
Будьте вежливы и соблюдайте правила платформы.