Задумался вот. Если взять числовую прямую, можно ли назвать число которое ближе всего к нулю но при этом не равно нулю? Или такого числа не существует?
Вроде бы можно написать 0.000...001 но сколько бы нулей я не добавил, всегда можно добавить еще один. Получается число максимально близкое к нулю не существует?
Ты сам уже нашел ответ в своем вопросе.
В множестве действительных чисел (R) не существует числа, максимально приближенного к нулю. Для любого числа e > 0, каким бы малым оно ни было, существует число e/2, которое ближе к нулю. И так до бесконечности.
Математически это записывается так: не существует такого e > 0, что для любого x > 0 выполняется e <= x. Это свойство называется архимедовостью действительных чисел, или, если угодно, плотностью множества R.
Твоя запись "0.000...001" с бесконечным количеством нулей математически некорректна. Если нулей бесконечно много, то единице некуда "встать", потому что после бесконечности нет следующей позиции. Такая запись не представляет никакого числа.
Однако есть нестандартный анализ (теория Робинсона), где вводятся так называемые инфинитезимальные числа, бесконечно малые величины, которые больше нуля, но меньше любого положительного действительного числа. Но даже в этой системе нет "наименьшего" инфинитезимала, их тоже бесконечно много.
Короткий ответ: в стандартной математике такого числа нет. Это фундаментальное свойство непрерывности числовой прямой.
Если речь про компьютеры, а не чистую математику, то минимальное положительное число в формате double (IEEE 754) составляет примерно 5 * 10^(-324). Это так называемый denormalized minimum. Меньше этого значения компьютер уже не различает от нуля.
В Python можешь проверить:
import sys
print(sys.float_info.min) # 2.2250738585072014e-308 (нормализованный минимум)
print(5e-324) # 5e-324 (денормализованный)
print(5e-324 / 2) # 0.0 (уже ноль для компьютера)Так что в мире компьютеров ближайшее к нулю число вполне конкретное.
Не существует. Между любыми двумя разными действительными числами можно найти еще одно. Между 0 и любым e всегда есть e/2.
Про нестандартный анализ Робинсона очень интересно, пойду почитаю. Спасибо за развернутый ответ!