Основных теорий несколько, кратко по каждой.
Теория выкупа (Ориген, ранняя Церковь) - Христос как выкуп, уплаченный дьяволу за человечество. Сейчас в чистом виде почти никем не принята.
Теория удовлетворения (Ансельм Кентерберийский, XI в.) - грех наносит оскорбление бесконечному достоинству Бога, и только бесконечная жертва может его загладить. Фундамент западного (католического) богословия.
Пеналистская субституция - развитие Ансельма у реформаторов (Лютер, Кальвин). Христос принимает не просто наказание за оскорбление, а юридическое наказание вместо грешника. Основа протестантского евангелизма.
Теория нравственного влияния (Абеляр) - смерть Христа не юридический акт, а высшее проявление любви, которое морально преображает человека, видящего эту жертву.
Христос как победитель (Christus Victor, Аулен) - Воплощение и Воскресение как победа над смертью, грехом и дьяволом. Характерно для православного богословия.
Теория рекапитуляции (Ириней Лионский) - Христос "пересматривает" и исправляет весь путь человечества, пройдя его заново без грехопадения. Отсюда православный акцент на обожении (теозис).
Хочу добавить к Christus Victor - в православной традиции ключевым является именно Воскресение, а не Распятие само по себе. "Смертию смерть поправ" - это про победу, а не про юридическое удовлетворение.