Методологически опрос выглядит так: берется случайная выборка населения - обычно 1500-1800 человек, стратифицированная по региону, возрасту, полу, типу населенного пункта. Интервьюер звонит (или приходит лично в малых городах) и задает прямой вопрос: "Вы в целом одобряете или не одобряете деятельность [имя] на посту президента?". Ответы "одобряю" делят на общее число ответивших - получается процент.
При грамотной случайной выборке 1500 человек дают погрешность около 2,5% с вероятностью 95%. Это математически обоснованный факт, проверенный десятилетиями. Проблема не в математике.
Проблема в нескольких местах. Первое - эффект интервьюера: люди дают социально одобряемые ответы, особенно когда тема политически чувствительная. Исследования показывают что реальные предпочтения часто расходятся с ответами в опросе. Второе - финансирование: ВЦИОМ и ФОМ получают государственные заказы, что создает конфликт интересов даже при честных намерениях исследователей. Левада-центр имеет статус иностранного агента, что говорит о его независимости косвенно.
Разные цифры у разных организаций объясняются прежде всего формулировкой вопроса и шкалой ответов. "Одобряете" и "доверяете" - разные вопросы с разными ответами.
Про эффект интервьюера и социально одобряемые ответы - это ключевое. Именно это всегда интуитивно смущало, но не мог сформулировать.