Помогите с задачей по тригонометрии. Нужно доказать что sin(a) < tg(a) для углов от 0 до 90 градусов. Я понимаю что tg(a) = sin(a)/cos(a), но дальше застрял. Как правильно оформить доказательство?
Доказательство:
Дано: 0 < a < π/2 (от 0 до 90 градусов, исключая сами границы)
Доказать: sin(a) < tg(a)
tg(a) = sin(a)/cos(a)
sin(a) < sin(a)/cos(a)
Умножим обе части на cos(a). Так как для острых углов cos(a) > 0, знак неравенства сохраняется:
sin(a) · cos(a) < sin(a)
cos(a) < 1
Что и требовалось доказать.
Еще один способ - геометрический.
Нарисуй единичную окружность. Отложи угол a от положительного направления оси X. sin(a) - это ордината (высота) точки на окружности. tg(a) - это отрезок касательной от оси X до луча угла.
Из геометрии видно что касательная всегда длиннее высоты для острых углов. Это наглядно показывает sin(a) < tg(a).
Главное не забыть в ответе указать что неравенство справедливо только для 0 < a < π/2. На границах (при a=0 или a=90°) неравенство не выполняется или не определено (tg(90°) = бесконечность).
можно просто подставить конкретные числа и проверить
например a=30°
sin(30°) = 0.5
tg(30°) = 0.577
0.5 < 0.577 - неравенство верно
но это не доказательство конечно, просто проверка
Огромное спасибо! Теперь понятно, ключевой момент - что cos(a) < 1