Добавлю интересный случай к ответу выше. В теории категорий ноль вообще выходит за рамки "элемента" - там есть понятие нулевого объекта, который одновременно является начальным и конечным. Это ещe одна роль, которую "играет" ноль, уже на уровне выше конкретных множеств. Так что кроличья нора глубже, чем кажется.

Хм, ну если совсем просто: ноль в разных множествах это как слово "ключ" в русском языке. Оно одно, но означает и ключ от двери, и родник, и гаечный ключ. Математики просто договорились использовать один символ для похожей роли в разных системах. Насколько помню из универа, это называется перегрузкой обозначений или что то в этом духе.

Занятный вопрос на самом деле. Большинство студентов его никогда не задают, молча принимая нотацию как данность. За этим вопросом стоит более фундаментальный: что вообще значит "одно и то же" в математике? Формально два объекта считаются одинаковыми, если между структурами, в которых они живут, существует изоморфизм, переводящий один в другой. Ноль в Z и ноль в Q "одинаковы" в этом смысле, потому что Z вкладывается в Q с сохранением структуры. А вот нулевой вектор и ноль из R - уже объекты разных категорий, хотя и связанные.

Помню, у нас на кафедре был препод, который первую лекцию по алгебраическим структурам начинал именно с этого вопроса. Писал на доске пять разных нулей и спрашивал: "Это одно и то же?" Большинство кивали. Он улыбался и говорил: "Неправильно. И правильно одновременно." Суть в том, что математика работает с ролями, а не с конкретными объектами. Ноль - это роль. Кто её играет в данной структуре, тот и является нулем для этой структуры.