Главное отличие в принципе разделения властей. Парламентарная республика его признает и строится на нем. Советская республика его отрицает и строится на принципе полновластия советов.

Конкретнее:

Парламентарная республика (ФРГ, Италия, Индия):

• Законодательная, исполнительная и судебная власти разделены и взаимно контролируют друг друга
• Правительство формируется парламентским большинством и подотчетно парламенту
• Глава государства (президент) - церемониальная фигура, реальная власть у премьер-министра
• Парламент может вынести вотум недоверия правительству
• Правительство может инициировать роспуск парламента
• Многопартийность, свободные выборы, оппозиция

Советская республика (СССР, КНР, Куба):

• Принцип "Вся власть Советам". Советы - высший орган власти, совмещающий законодательные и исполнительные функции
• Исполнительные органы (Совмин) не самостоятельны, они формируются Советом и полностью ему подчинены. Это не "правительство" в западном смысле, а исполком
• Депутаты советов совмещали работу в совете с основной деятельностью ("депутат-рабочий"), хотя на практике это работало плохо
• Императивный мандат: избиратели могут отозвать депутата. В парламентарной республике мандат свободный
• Руководящая роль одной партии (КПСС). Многопартийность формально допускалась, но де-факто отсутствовала
• Нет разделения властей, нет системы сдержек и противовесов

Ключевое: в парламентарной республике парламент контролирует правительство, но не подменяет его. В советской республике Совет теоретически и есть вся власть. На практике же реальная власть концентрировалась в партийном аппарате, а Советы становились декорацией.