Несколько вариантов которые лично проверял:

Трапезная Новодевичьего монастыря - наверное самая известная. Там и постные блюда есть и обычные. Место историческое, атмосфера соответствующая. Минус - бывает очередь.

Сретенский монастырь на Сретенке - небольшое кафе при монастыре, очень уютное. Пироги там особенно хороши.

Донской монастырь - тоже есть трапезная, чуть дальше от центра но спокойнее.

Во всех этих местах примерно одинаковые правила: скромная одежда, платок для женщин (обычно есть у входа запасные). Никто не будет проверять билеты или читать молитвы - зашел, поел, вышел.

Данилов монастырь на Тульской - там реально хорошая трапезная, открытая для всех. Борщ, каши, постные блюда. Цены смешные по московским меркам, обед выходит рублей 300-400. Вход свободный, дресс-код стандартный для церкви - женщинам платок на голову, одежда закрытая. Работают примерно с 8 до 17, но лучше уточнить перед поездкой.

Честно говоря, лучшая "трапезная" в Москве - это столовые советского типа которых еще немало осталось. "Столовая 57" в ГУМе, "Грабли", обычные районные столовые. Еда там ничуть не хуже монастырской, а ехать в монастырь специально ради обеда... ну странная идея, не обижайся.

Трапезная Марфо-Мариинской обители на Большой Ордынке - очень уютное место, там пекут свои булочки и делают домашние заготовки. Немного в стороне от основных туристических маршрутов, поэтому народу меньше. Рекомендую.