Главное отличие - происхождение. "Отче наш" это единственная молитва которую передал сам Христос, причем дважды и в немного разных редакциях (Мф 6:9-13 и Лк 11:2-4). Все остальные молитвы - человеческое творчество, пусть и вдохновленное. Псалмы написал Давид и другие авторы, акафисты составлялись гимнографами начиная с 5-6 века, молитвы святым появились в процессе церковной практики.

Богословский статус: в патристической традиции "Отче наш" считается образцовой молитвой - не потому что ее нужно читать механически, а потому что она задает структуру правильной молитвы. Тертуллиан называл ее "breviarium totius evangelii" - кратким изложением всего Евангелия. Киприан Карфагенский написал целый трактат разбирая каждое прошение.

Отличие от акафистов и псалмов функциональное: псалмы это поэзия обращения к Богу из ветхозаветного контекста, акафисты - хвалебные гимны конкретным лицам или событиям, молитвы святым - ходатайственные прошения через посредников. "Отче наш" - прямой разговор с Отцом, без посредников, по форме данной самим Сыном.

Православие и католицизм: основной текст совпадает. Главное практическое различие - в православном и протестантском использовании есть заключительное славословие "Яко Твое есть Царство и сила и слава" которого нет в древнейших рукописях и которое католики традиционно не читают в составе самой молитвы (хотя в литургии после нее есть аналогичная эмболия).