Бабайка (он же Бабай) в славянском фольклоре - это образ страшного старика с мешком, который забирает непослушных детей. Конкретного описания внешности нет, каждый регион представлял его по своему.

В одних сказках это седой дед в лохмотьях, в других - темная бесформенная тень. Иногда его изображали с большим носом и горбом.

По сути это собирательный образ "чужого взрослого", которым пугали детей чтобы они не уходили далеко от дома и слушались родителей.

Я своей дочке в свое время показала мультик "Ничуть не страшно" (1981 год, советский). Там Бабайка нарисован как смешной старичок в колпаке, который на самом деле добрый.

После этого мультика она перестала бояться. Может вашему тоже поможет?

У нас в Татарстане Бабай - вообще положительный персонаж. Это мудрый старик, дедушка. Бабаем называют уважаемых пожилых людей.

А страшилка "бабайка придет" скорее всего пришла из тюркских языков, где "бабай" означает просто "дед". Русские переиначили в пугалку для детей.