Задали на дом систему уравнений:
x + y = 5xy
x - y = xy
Никак не могу решить. Пробовала выражать y через x из второго уравнения и подставлять в первое, получается жуткая дробь. Пробовала складывать уравнения - тоже не то.
Как правильно решить систему х+у=5ху х-у=ху? Какой метод тут подходит? Может есть какая то хитрость?
Складываешь оба уравнения:
(x + y) + (x - y) = 5xy + xy
2x = 6xy
2x - 6xy = 0
2x(1 - 3y) = 0
Отсюда либо x = 0, либо y = 1/3.
Случай 1: x = 0
Подставляем во второе уравнение:
0 - y = 0
y = 0
Проверка в первом: 0 + 0 = 5·0·0 → 0 = 0 ✓
Случай 2: y = 1/3
Подставляем во второе уравнение:
x - 1/3 = x · 1/3
x - x/3 = 1/3
2x/3 = 1/3
x = 1/2
Проверка в первом: 1/2 + 1/3 = 5 · 1/2 · 1/3
5/6 = 5/6 ✓
Ответ: (0; 0) и (1/2; 1/3)
Можно еще через замену решить. Обозначь xy = t, тогда система превращается в:
x + y = 5t
x - y = t
Складываешь: 2x = 6t → x = 3t
Вычитаешь: 2y = 4t → y = 2t
Теперь xy = t:
3t · 2t = t
6t² = t
6t² - t = 0
t(6t - 1) = 0
Отсюда t = 0 или t = 1/6.
При t = 0: x = 0, y = 0
При t = 1/6: x = 3·1/6 = 1/2, y = 2·1/6 = 1/3
Тот же ответ, просто другой путь.
Кстати важный момент который многие забывают: нужно проверить не обращается ли знаменатель в ноль при каких то значениях. Тут xy стоит в правой части, значит нужно убедиться что деление на xy (если ты его делаешь) допустимо.
В данном случае x = 0, y = 0 это корень системы, поэтому делить на xy нельзя было. Поэтому метод выше (вынесение общего множителя) правильнее чем деление обеих частей на xy.
проще всего через волфрам альфа забить, она сама решит и покажет все шаги
Огромное спасибо!! Я не додумалась просто сложить уравнения, пыталась сразу подставлять. Теперь понятно!