Гимназия хорошо работает для атмосферы "серьезное учебное заведение с историей". Лицей - чуть более современное ощущение, часто ассоциируется с уклоном в физику/математику. Если персонажи творческие - есть еще формат "школа с художественным/театральным уклоном", такие реально существуют и дают хорошую почву для сюжета.

Зависит от сеттинга твоей РП. Если это что то близкое к фентези или альтернативной реальности - "Институт" звучит загадочно и при этом не слишком пафосно. В российском контексте институты бывают самые разные, так что это не будет выглядеть неправдоподобно.

Еще вариант - просто назвать конкретную школу выдуманным именем. "Школа номер такой то" это скучно, но "Школа Ломоносова" или "Первая городская гимназия" - уже звучит как место с характером.

Смотря какой жанр. В аниме-РП часто используют "Академию" именно потому, что она в русском языке ни к чему конкретному не привязана и можно лепить любой сеттинг. Если твоя РП реалистичная - да, лицей или гимназия. Если нет - не парься и пиши академию, все поймут.

у меня в рп тоже гимназия, очень удобно - можно придумать что угодно и все равно звучит правдоподобно)