Основных доказательств расширения три.

1. Красное смещение галактик (закон Хаббла, 1929)

Эдвин Хаббл измерил спектры далеких галактик и обнаружил что линии поглощения водорода, гелия и других элементов смещены в красную (длинноволновую) область. Причем чем дальше галактика, тем сильнее смещение.

Это объясняется эффектом Доплера - когда источник света удаляется от наблюдателя, длина волны увеличивается (краснеет). Скорость удаления пропорциональна расстоянию: v = H × d (где H - постоянная Хаббла, около 70 км/с на мегапарсек).

2. Реликтовое излучение (CMB)

В 1965 году Пензиас и Вильсон случайно обнаружили микроволновое фоновое излучение с температурой 2.7 К, приходящее равномерно со всех сторон неба. Это "эхо" Большого взрыва, остывшее за 13.8 миллиардов лет.

Если Вселенная расширяется, то в прошлом она была горячее и плотнее. Расчеты показывают что через 380000 лет после Большого взрыва температура упала до 3000 К и излучение отделилось от вещества. Мы наблюдаем это излучение сейчас, остывшее в 1000 раз из за расширения пространства.

3. Распространенность легких элементов

Теория Большого взрыва предсказывает что в первые 3 минуты после взрыва образовались водород (75%), гелий (25%) и следы лития. Наблюдения подтверждают эти пропорции с точностью до долей процента.

Ответ на второй вопрос:

Вселенная не расширяется "во что то". Расширяется само пространство. Галактики не разлетаются в статичном пространстве, а остаются на месте, пока пространство между ними растягивается.

Аналогия: представь муравьев на поверхности надувающегося шарика. Муравьи неподвижны относительно поверхности, но расстояния между ними растут. Поверхность шарика - это двумерная аналогия нашего трехмерного пространства. Шарик не расширяется "в комнату", расширяется сама поверхность.

Дополню про красное смещение.

Есть два типа красного смещения - доплеровское (объект движется от нас в пространстве) и космологическое (само пространство расширяется).

Для близких галактик оба эффекта примерно равны. Но для далеких галактик (z > 1, где z - параметр красного смещения) космологическое смещение доминирует.

Самые далекие галактики имеют z около 11, что означает длина волны увеличилась в 12 раз. Если бы они просто летели от нас, их скорость превышала бы скорость света, что невозможно. Зато расширение пространства может происходить с любой скоростью.

Все эти "доказательства" основаны на интерпретации красного смещения как эффекта Доплера. Но есть альтернативная теория - усталость света (tired light). Свет теряет энергию при прохождении миллиардов световых лет через космическую пыль и плазму, поэтому краснеет.

Большой взрыв - это просто одна из гипотез, которую навязывает академическое сообщество. Статичная вселенная Эйнштейна была не менее обоснованной моделью.