Коротко: адыгейцы - один из адыгских народов, которых исторически называли черкесами.

Схема такая:

• Адыги (или черкесы) - общее название большой этнической группы с единым языком и культурой.
• Внутри этой группы несколько субэтносов, сформировавшихся исторически: адыгейцы, кабардинцы, черкесы (в узком смысле, как жители Карачаево-Черкесии), шапсуги.
• После Кавказской войны и массового выселения в 1860-х большинство адыгов оказалось в Турции и других странах Ближнего Востока (это называется адыгская диаспора).
• В России остались три основных группы, и по советской национальной политике им дали разные названия: адыгейцы в Адыгее, кабардинцы в Кабардино-Балкарии, черкесы в Карачаево-Черкесии.

По языковой классификации: адыго-абхазская ветвь северокавказской семьи. Адыгский и кабардинский языки взаимно понятны, хотя официально считаются разными языками.

В диаспоре всех их называют черкесами без разделения.

Добавлю один важный нюанс. Сами адыги эту советскую классификацию не очень любят. Для большинства из них - и в России, и в диаспоре - есть один народ, адыги. Разделение на адыгейцев, кабардинцев и черкесов воспринимается как административный артефакт, а не отражение реальной этнической картины.

Северокавказские народы вообще одна из самых запутанных тем в российской этнографии из-за советского "нарезания" республик. Не только адыги. Та же история с ногайцами, балкарцами, карачаевцами - у всех размытые границы между "самостоятельный народ" и "субэтнос".