Коротко: оперетта требует академически поставленного голоса, мюзикл - нет.

Развернуто: оперетта выросла из оперы в середине XIX века (Оффенбах во Франции, Штраус в Вене). Ее певцы учились в консерватории. Голос ставился по оперной технике - без микрофона заполнить зал на 1500 мест. Тексты легкие, сюжеты комедийные, но вокал серьезный.

Мюзикл родился в США в начале XX века из водевиля и джаза. Там с самого начала был микрофон и усиление. Это позволило брать на главные роли актеров с хорошей драматической или танцевальной подготовкой, а не вокальной. Бродвейские звезды поют иначе - грудным, разговорным, микрофонным звуком.

Отсюда второе различие - танец. В оперетте танец вспомогательный. В мюзикле (особенно начиная с "Оклахомы" 1943 года) хореография стала полноценным языком повествования, персонажи через танец раскрывают психологию.

География тоже влияет: "Летучая мышь" - венская оперетта 1874 года, "Чикаго" - бродвейский мюзикл 1975-го. Но граница не абсолютная. Некоторые советские произведения называли и так и так в зависимости от театра.

Оперетта - это когда поют красиво но скучновато. Мюзикл - когда хочется встать и потанцевать вместе. Это, конечно, упрощение, но по ощущениям так.

Добавлю нюанс к ответу выше. Есть еще структурное различие в соотношении разговорных и вокальных сцен. В оперетте разговорных диалогов (так называемые "прозаические" куски между номерами) традиционно больше. В мюзикле начиная с 1940-50-х годов стремились к так называемому "integrated musical" - когда песни и танцы не вставные номера, а органично продолжают действие. Зонг не прерывает сцену, он ее развивает.

Сходила на обе постановки в Музыкальном театре Станиславского в один сезон. Разница в первую очередь чувствуется в оркестре. В оперетте он играет классический европейский репертуар, темп вальсовый. В мюзикле ритмическая секция жестче, есть синкопы, иногда откровенный рок или джаз. Уши сразу слышат разницу, даже если не знать терминологию.