Есть две версии, и обе правда одновременно.
Первая - практическая. Когда лифты только начали массово ставить в жилых домах (50-60е годы), людей охватила "лифтобоязнь". Люди боялись замкнутого пространства, панике способствовало то, что не видишь, что происходит сзади. Зеркало дало возможность контролировать всю кабину взглядом, не поворачиваясь. Плюс человек с инвалидным креслом может заехать и видеть кнопки, не разворачиваясь на 180 градусов в тесноте.
Вторая - психологическая, и она, пожалуй, важнее. Зеркало визуально увеличивает пространство кабины примерно вдвое. Мозг перестает воспринимать поездку как заточение в ящике. Люди начинают смотреть на себя, поправлять волосы - время в голове идет быстрее, тревожность падает.
Городская легенда про то, что зеркала ставили из-за жалоб на долгое ожидание лифта - это про холлы, не про кабины. Там другая история.