По порядку, потому что тут несколько разных вопросов.

Диплом. Для репетиторства признание диплома НЕ нужно. Признание требуется только если хочешь работать учителем в государственной школе. Частный репетитор - это услуга, а не регулируемая профессия в Германии.

Регистрация. Репетиторство как деятельность попадает под Freiberufler (свободный специалист), а не Gewerbe (торговля/ремесло). Это проще и дешевле. Регистрируешься в Finanzamt (налоговая) по месту жительства, заполняешь форму Fragebogen zur steuerlichen Erfassung - можно онлайн через Elster или на бумаге. Через 2-4 недели получаешь Steuernummer.

Налоги. Kleinunternehmerregelung - режим малого предпринимателя. Если оборот до 22 000 евро в год, НДС не платишь и не выставляешь. При 300-500 евро в месяц ты под этим порогом. Подоходный налог: у Германии прогрессивная шкала, необлагаемый минимум в 2026 году около 11 784 евро в год. При твоих доходах от репетиторства в дополнение к доходу мужа налог к оплате будет зависеть от совместной или раздельной декларации.

Наличные. Брать наличными можно, это не запрещено. Но доход все равно декларируется. Выдавать клиентам квитанцию рекомендую - формирует доверие.