Пишешь заявление на имя начальника КПП или коменданта гарнизона. Форма свободная. Заголовок: "Прошу оформить временный пропуск". Указываешь ФИО, паспортные данные, адрес прописки внутри ЗАТО, цель посещения и дату. Подаешь лично на КПП с паспортом. Временный пропуск на 1-3 дня обязаны выдать без очереди, это их стандартная процедура для жителей с пропиской.

Мы в свое время (это был Северск, начало 2010-х) просто звонили знакомому внутри и он выходил на КПП и "забирал" тебя как гостя. Оформляли как визит к частному лицу на один день. Не знаю как сейчас с этим, ужесточили или нет.

В соответствии с Постановлением Правительства РФ N 693 "Об утверждении Положения о закрытом административно-территориальном образовании" въезд и выезд из ЗАТО осуществляется по пропускам, оформленным в установленном порядке органами местного самоуправления совместно с органами федеральной службы безопасности. Временные пропуска для жителей ЗАТО с постоянной регистрацией оформляются администрацией муниципального образования ЗАТО. Рекомендуется обратиться в МФЦ по месту нахождения или подать обращение через Госуслуги при наличии соответствующего регионального сервиса.

У нас (Железногорск) через Госуслуги регионального уровня подается заявка на продление постоянного пропуска. Но это именно продление, не временный. Занимает до 10 рабочих дней. Для срочного случая как у тебя это не поможет, но на будущее - удобно, не надо ездить никуда.