Был в Корее дважды, оба раза бюджетно. Делюсь наработками.

Жилье: забудь про отели. Качаешь приложение Naver или Kakao Map и ищешь гостевые дома (민박 - минбак) или ханок-стэи в традиционных домах. В Сеуле район Хондэ дорогой из за студентов, а вот Ыннам-дон рядом - тихо и дешево. В Пусане бери что нибудь в районе Намподон, там рыбный рынок Чагальчи под боком.

Транспорт: обязательно купи T-money карту в любом convenience store. Она работает на все автобусы и метро по всей стране плюс дает скидку на пересадки. Между городами езди на автобусах - KTX (их скоростной поезд) жрет бюджет как не в себя, а автобусы комфортные и в 3-4 раза дешевле.

Природа за копейки: национальный парк Сораксан на восточном побережье. Вход 3500 вон. Горы, водопады, канатка. Можно доехать автобусом из Сеула за 15 тысяч вон в одну сторону (часа 2.5). Переночевать в городке Сокчо у подножия - хостелы от 20 баксов.

Остров Чеджу красивый но там все дороже материка. Если хочется острова подешевле - смотри на У|до (рядом с Чеджу, паром копеечный) или Хондо на западе.

Еда: в любом магазине CU, GS25, 7-Eleven продают горячую еду - рамен который там же заваривают, кимбапы (корейские роллы), онигири. Обед за 3-4 тысячи вон легко. А если хочется нормально поесть - ищи вывески с иероглифами 백반 (пэкпан) это комплексный обед с кучей панчанов (закусок) за 7-8 тысяч вон.

180 тысяч на двоих включая перелет - реально если брать билеты заранее. Сейчас из Владика летают лоукостеры, оттуда до Сеула можно за 15-20 тысяч в одну сторону поймать. Но из Москвы придется с пересадкой, смотри через Пекин или Шанхай - китайские авиалинии дешевле корейских.