Разница есть, и она довольно четкая.
Гордыня - слово с тяжелым религиозно-моральным грузом. В христианстве это один из семи смертных грехов, причем первый и главный. Суть не просто в высокой самооценке, а в том что человек ставит себя выше Бога или других людей в онтологическом смысле. В современном бытовом языке слово сохраняет этот оценочный заряд - когда его используют, подразумевают что гордость перешла черту и стала греховной, деструктивной.
Высокомерие - нейтральнее по происхождению (буквально "высокая мера"), но в современном языке тоже негативное. Акцент на поведении: высокомерный человек демонстрирует презрение к окружающим, смотрит на них свысока. Это про отношения с другими, про внешнее поведение.
Пыхатость - слово живое, но с выраженным просторечным, региональным или устаревающим привкусом. Используется больше в разговорной речи старшим поколением или в художественных текстах для создания определенной атмосферы. Оттенок скорее комический или пренебрежительный: пыхатый человек надувается как индюк, важничает, но без глубокого морального осуждения. Это больше про внешнюю спесь, чем про внутреннее убеждение в своем превосходстве.
Спасибо, это именно то что искала. Про пыхатость как комический оттенок - очень точно.